69. x 的平方根 (opens new window)

题目：

给你一个非负整数 x ，计算并返回 x 的 算术平方根 。

由于返回类型是整数，结果只保留 整数部分 ，小数部分将被 舍去 。

**注意：**不允许使用任何内置指数函数和算符，例如 pow(x, 0.5) 或者 x ** 0.5 。

示例：

示例 1：

输入：x = 4
输出：2

示例 2：

输入：x = 8
输出：2
解释：8 的算术平方根是 2.82842..., 由于返回类型是整数，小数部分将被舍去。

提示：

• 0 <= x <= 2^31^ - 1

解题：

方法一：二分查找

class Solution {
public:
    int mySqrt(int x) {
        int left = 1, right = x, ans = -1;
        while(left <= right) {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if((long long)mid*mid <= x) {
                ans = mid;
                left = mid + 1;
            } else {
                right = mid - 1;
            }
        }
        return ans;
    }
};

复杂度分析

• 时间复杂度：O(log⁡x)，即为二分查找需要的次数。
• 空间复杂度：O(1)。

可调式的代码

#include <iostream>
int mySqrt(int x) {
        int left = 1, right = x, ans = -1;
        while(left <= right) {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if((long long)mid*mid <= x) {
                ans = mid;
                left = mid + 1;
            } else {
                right = mid - 1;
            }
        }
        return ans;
    }
int main() {
    int test_values[] = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 16, 25, 36, 49, 81, 100};
    for (int x : test_values) {
        std::cout << "The integer square root of " << x << " is: " << mySqrt(x) << std::endl;
    }
    return 0;
}

方法二：袖珍计算器算法

「袖珍计算器算法」是一种用指数函数 exp⁡ 和对数函数 ln⁡ 代替平方根函数的方法。我们通过有限的可以使用的数学函数，得到我们想要计算的结果。

这种方法的思路是通过数学函数 exp（指数函数）和 log（对数函数）来进行近似计算平方根。

具体步骤如下：

1. 如果输入 x 为 0，则直接返回 0，因为 0 的平方根也是 0。
2. 使用 exp(0.5 * log(x)) 计算 x 的平方根的初步估计值。这里通过对 x 取对数，然后取指数，相当于计算 x 的平方根。这一步是为了得到一个初始猜测值，以便下一步逼近。
3. 判断 (ans + 1) * (ans + 1) 是否小于等于 x，如果是，则返回 ans + 1，否则返回 ans。这一步是为了修正初始估计值，使其更接近实际的整数平方根。

这种方法在一定程度上避免了浮点数精度问题，因为整数运算通常不会引起浮点数精度损失。然而，由于使用了浮点数函数，可能会有一些误差。强制类型转换 (long long) 用于防止整数溢出问题。这种方法的关键在于使用对数和指数函数进行近似，以达到更高的精度。

class Solution {
public:
    int mySqrt(int x) {
        if(x==0) return 0;
        int ans = exp(0.5*log(x));
        return ((long long)(ans + 1) * (ans + 1) <= x ? ans+1 : ans);
    }
};

复杂度分析

• 时间复杂度：O(1)，由于内置的 exp 函数与 log 函数一般都很快，我们在这里将其复杂度视为 O(1)。

• 空间复杂度：O(1)。